순수 수학이라는 학문은 그 근대적 발전에 있어 인간 정신의 가장 독창적인 창조물이라 자처할 수 있다. 이 자리를 놓고 경쟁하는 또 다른 후보는 음악이다. 그러나 우리는 모든 경쟁자를 제쳐두고, 수학에 대해 그러한 주장을 할 수 있는 근거를 고찰해 보고자 한다. 수학의 독창성은 수학이라는 학문 속에서 사물 간의 연관성이 드러난다는 사실에 있는데, 이는 인간 이성의 작용 없이는 지극히 알기 어려운 것들이다. 따라서 오늘날 현대 수학자들의 마음속에 있는 관념들은 감각을 통한 지각으로 즉각 도출될 수 있는 그 어떤 개념으로부터도 매우 멀리 떨어져 있다. 물론 선행된 수학적 지식에 의해 자극받고 인도된 지각이라면 예외일 수 있다. 이것이 내가 앞으로 예증해 나갈 논지이다.
우리의 상상력을 수천 년 전으로 거슬러 올려 초기 사회의 가장 위대한 지성들의 단순함을 헤아려 보라. 우리에게는 즉각적으로 명백한 추상적 관념들이 그들에게는 매우 희미하게 파악되는 문제에 불과했을 것이다. 예를 들어 수의 문제를 생각해 보자. 우리는 '5'라는 수를 물고기 5마리, 아이 5명, 사과 5개, 5일 등 어떠한 실체의 적절한 집단에도 적용되는 것으로 생각한다. 따라서 '5'라는 수와 '3'이라는 수의 관계를 고려할 때, 우리는 5개의 구성원을 가진 집단과 3개의 구성원을 가진 집단, 이 두 집단을 생각하는 것이다. 하지만 우리는 이 두 집단의 구성원을 이루는 특정 실체나 심지어 특정 종류의 실체에 대한 그 어떤 고려도 완전히 추상화하고 있다. 우리는 단지 그 두 집단 사이의 관계만을 생각할 뿐이며, 이는 어느 집단 구성원의 개별적 본질과는 완전히 독립적인 것이다. 이것은 매우 놀라운 추상의 위업이며, 인류가 이에 도달하기까지는 오랜 세월이 걸렸을 것이다. 오랜 기간 동안 물고기 집단은 그 수적 다소에 따라, 날짜들의 집단은 그들끼리 서로 비교되었을 것이다. 그러나 물고기 7마리의 집단과 7일이라는 날짜의 집단 사이의 유사성을 처음으로 발견한 사람은 사상사에서 주목할 만한 진전을 이루어낸 것이다. 그는 순수 수학이라는 학문에 속하는 개념을 처음으로 가진 사람이었다. 그 순간 그가 발견을 기다리던 이 추상적 수학 개념들의 복잡함과 미묘함을 예측하기란 불가능했을 것이다. 또한 그가 이러한 관념들이 세대를 거듭하며 널리 매혹을 불러일으킬 것임을 짐작할 수도 없었을 것이다. 수학에 대한 사랑을 각 세대의 소수 괴짜들에게만 국한된 일종의 강박증으로 묘사하는 잘못된 문학적 전통이 존재한다. 하지만 그것이 어떻든, 당시 사회에 대응하는 것이 없었던 일종의 추상적 사유에서 얻을 수 있는 즐거움을 미리 예상하기란 불가능했을 것이다. 셋째로, 수학적 지식이 인간의 삶, 일상적인 직업, 습관적인 사고, 그리고 사회 조직에 미칠 엄청난 미래의 영향력은 당시 초기 사상가들의 예견으로부터는 더욱더 완전히 가려져 있었음이 틀림없다. 오늘날에도 사상의 역사 속 요소로서 수학이 갖는 진정한 위치에 대한 파악은 매우 흔들리고 있다.각 시대의 수학적 관념에 대한 심도 깊은 연구 없이 사상의 역사를 구성하는 것이, 제목이 된 연극에서 햄릿을 빼버리는 것과 같다고까지 말하지는 않겠다. 그것은 너무 과한 주장일 것이다. 하지만 그것은 확실히 오필리어의 배역을 삭제하는 것과 유사하다. 이 비유는 매우 정확하다. 오필리어는 그 연극에 아주 필수적이고, 매우 매력적이며, 약간은 미쳐 있기 때문이다. 수학을 탐구하는 것은 인간 정신의 신성한 광기이자, 우연한 사건들이 몰아치는 긴박함으로부터의 도피처라고 인정하자.
우리가 수학을 생각할 때, 우리 마음속에는 수, 양, 기하학의 탐구에 전념하는 과학이 있으며, 현대에는 더 추상적인 질서 개념과 그와 유사한 순수 논리적 관계의 유형에 대한 연구까지 포함하고 있다. 수학의 핵심은 수학 안에서는 언제나 개별적인 사례나 특정한 종류의 실체들조차도 배제한다는 점이다. 그래서 예를 들어, 어떤 수학적 진리도 단지 물고기나 돌, 또는 색깔에만 적용되지 않는다. 순수 수학을 다루는 동안에는 완전하고 절대적인 추상의 영역에 있는 것이다. 우리가 주장하는 모든 것은, 만약 어떤 실체들이 이러저러한 순수하게 추상적인 조건들을 만족하는 관계를 맺고 있다면, 그것들은 반드시 다른 순수하게 추상적인 조건들을 만족하는 또 다른 관계를 맺어야 한다는 것을 이성이 인정할 수밖에 없다는 사실이다.
수학은 그것이 다루는 대상의 어떤 구체적인 사례로부터도 완전히 추상화된 영역 안에서 움직이는 사유이다. 수학에 대한 이러한 관점은 너무나 명백해 보이지 않아서, 우리는 그것이 오늘날에도 일반적으로 이해되지 않고 있다는 점을 쉽게 확인할 수 있다. 예를 들어, 흔히 수학의 확실성이 물리적 우주 공간에 대한 우리 기하학적 지식의 확실성을 뒷받침하는 근거라고 생각한다. 이것은 과거의 많은 철학과 현재의 일부 철학을 오염시킨 망상이다. 이러한 기하학 문제는 시급히 다루어야 할 시험대이다. 나는 '기하학적 조건'이라 부를, 명시되지 않은 실체 집단들의 관계를 위한 순수하게 추상적인 조건들의 대안적 세트가 존재한다. 내가 이 이름을 붙인 이유는 우리가 자연을 직접 지각하면서 관찰한 사물들의 구체적인 기하학적 관계에 관하여 타당하다고 믿는 조건들과 그것이 전반적으로 유사하기 때문이다. 관찰이라는 측면에서 우리는 자연에서 마주치는 사물들을 규정하는 정확한 조건을 확신할 만큼 충분히 정밀하지 않다. 그러나 우리는 가설을 조금 확장함으로써 이러한 관찰된 조건들을 순수하게 추상적인 기하학적 조건 중 한 세트와 동일시할 수 있다. 그렇게 함으로써 우리는 추상 과학에서 '관계항'인 명시되지 않은 실체 집단을 구체적으로 확정하게 된다. 기하학적 관계의 순수 수학에서 우리는, 만약 '어떤' 실체 집단이 그 구성원들 사이에 '어떤' 관계를 맺어 '이' 일련의 추상적 기하학적 조건을 만족한다면, 그 관계에 대해서는 이러저러한 추가적인 추상적 조건들도 반드시 성립해야 한다고 말한다. 그러나 물리적 공간으로 넘어가면, 우리는 명확히 관찰된 어떤 물리적 실체 집단이 그 구성원들 사이에 상기한 일련의 추상적 기하학적 조건을 만족하는 명확히 관찰된 관계를 맺고 있다고 말한다. 그래서 우리는 '어떠한' 경우에도 성립한다고 결론지었던 그 추가적인 관계들이 '이 특정한' 경우에도 반드시 성립해야 한다고 결론짓는 것이다.
수학의 확실성은 그 완전한 추상적 보편성에 의존한다. 그러나 구체적인 우주에서 관찰된 실체들이 우리의 일반적인 추론에 포함되는 것의 구체적인 사례를 형성한다고 믿는 것이 옳다는 '선험적' 확실성을 우리는 가질 수 없다. 산술에서 다른 예를 하나 들어보자. 어떤 40개의 실체 집단이든 20개씩의 두 집단으로 나눌 수 있다는 것은 순수 수학의 일반적이고 추상적인 진리이다. 따라서 우리는 40개의 구성원을 가지고 있다고 믿는 특정 사과 집단을 각각 20개씩 포함하는 두 개의 사과 집단으로 나눌 수 있다고 결론짓는 것이 정당하다. 그러나 우리가 그 큰 집단의 수를 잘못 세었을 가능성은 항상 남아 있다. 그래서 실제로 그것을 나누려 할 때, 두 더미 중 하나가 사과가 하나 부족하거나 하나 더 많다는 사실을 발견하게 될 것이다.
따라서 수학을 구체적인 사실 문제에 적용하는 것에 기반한 논증을 비판할 때, 우리의 마음속에 완전히 구별해 두어야 할 세 가지 과정이 항상 존재한다. 먼저 우리는 순수하게 수학적인 추론을 훑어봄으로써 그 안에 단순한 실수, 즉 정신적 오류로 인한 우발적인 비논리성이 없음을 확인해야 한다. 어떤 수학자든 뼈아픈 경험을 통해 추론 과정을 처음 정교화할 때 아주 작은 오류를 범하기 쉽고, 그것이 모든 결과를 완전히 뒤바꿔 놓을 수 있다는 사실을 알고 있다. 그러나 일단 수학적 논증이 수정되고 상당 기간 전문가 사회에 제시되었다면, 우발적인 오류가 발생할 가능성은 거의 무시할 수 있는 수준이다. 다음 과정은 타당하다고 전제된 모든 추상적 조건들을 확실히 파악하는 것이다. 이것은 수학적 추론이 출발하는 추상적 전제들을 확정하는 과정이다. 이것은 상당히 어려운 문제이다. 과거에는 매우 주목할 만한 간과가 있었으며, 그것들이 위대한 수학자들의 여러 세대에 걸쳐 수용되기도 했다. 가장 큰 위험은 간과, 즉 우리가 당연히 전제하기 쉬운 어떤 조건을 암묵적으로 도입하는 것이지만, 사실 그 조건이 항상 타당할 필요는 없다는 점이다. 이와 관련하여 오류로 이어지지는 않지만 단순화를 저해하는 또 다른 정반대의 간과가 존재한다. 실제보다 더 많은 가정이 필요하다고 생각하기가 매우 쉽다. 다시 말해, 우리가 이미 확보한 다른 공리들로부터 충분히 증명될 수 있는 어떤 추상적 공리가 필요하다고 생각할 수도 있다. 이러한 추상적 공리의 과잉이 초래하는 유일한 효과는 수학적 추론에 대한 우리의 미적 즐거움을 감소시키고, 비판의 세 번째 과정에 도달했을 때 우리에게 더 많은 어려움을 안겨준다는 것뿐이다.
비판의 이 세 번째 과정은 우리의 추상적 공리들이 당면한 특정 사례에 적용되는지를 검증하는 것이다. 바로 이 특정 사례에 대한 검증 과정과 관련하여 모든 문제가 발생한다. 사과 40개를 세는 것과 같은 몇몇 단순한 사례에서는 약간의 주의만 기울여도 실질적인 확실성에 도달할 수 있다. 그러나 일반적으로 더 복잡한 사례에서는 완전한 확실성을 얻을 수 없다. 이 주제에 관해서는 수많은 권의 책들이 저술되었다. 이곳은 경쟁하는 철학자들의 격전지이다. 여기에는 두 가지 별개의 질문이 관련되어 있다. 관찰된 구체적이고 명확한 사물들이 있으며, 우리는 이 사물들 사이의 관계가 정말로 어떤 명확하고 정확한 추상적 조건을 따르는지 확인해야 한다. 여기에는 오류의 여지가 크다. 과학의 정확한 관찰 방법들은 모두 직접적인 사실 관계에 대한 이러한 잘못된 결론을 제한하기 위한 고안물들이다. 그러나 또 다른 질문이 제기된다. 직접 관찰된 사물들은 거의 항상 표본일 뿐이다. 우리는 표본에 적용되는 추상적 조건들이 어떤 이유로든 우리에게 동일한 종류로 보이는 다른 모든 실체에도 적용된다고 결론짓기를 원한다. 표본에서 전체 종으로 추론하는 이 과정을 귀납법이라 한다. 귀납 이론은 철학의 절망이지만, 우리의 모든 활동은 그것에 기반을 두고 있다. 어쨌든 특정 사실에 관한 수학적 결론을 비판할 때, 진정한 어려움은 관련된 추상적 가정을 찾아내는 것과 그것이 당면한 특정 사례에 적용될 수 있는지에 대한 증거를 평가하는 것에 있다.
따라서 응용 수학에 관한 학술서나 논문을 비판할 때 첫 장, 심지어는 첫 페이지에서 모든 문제가 발생하는 경우가 흔하다. 저자가 자신의 가정을 슬쩍 끼워 넣었을 가능성이 높은 곳이 바로 그 출발점이기 때문이다. 나아가 문제는 저자가 말한 것이 아니라 말하지 않은 것에 있다. 또한 문제는 그가 알고서 가정한 것이 아니라 무의식적으로 가정한 것에 있다. 우리는 저자의 정직함을 의심하지 않는다. 우리가 비판하는 것은 그의 통찰력이다. 각 세대는 앞선 세대가 가졌던 무의식적 가정들을 비판한다. 그것에 동의할 수는 있을지라도, 그것을 밝은 곳으로 끌어내는 것이다.
언어 발달의 역사는 이 점을 잘 보여준다. 그것은 관념에 대한 점진적 분석의 역사이다. 라틴어와 그리스어는 굴절어였다. 이는 그 언어들이 단어의 변형만으로 분석되지 않은 복합적인 관념들을 표현한다는 의미이다. 반면 예를 들어 영어에서는 전치사와 조동사를 사용하여 관련된 관념의 묶음 전체를 밖으로 끌어낸다. 문학 예술의 특정 형식에 있어서는―항상 그렇지는 않더라도―보조적인 관념들이 주된 단어에 압축적으로 흡수되는 것이 장점이 될 수도 있다. 그러나 영어와 같은 언어에서는 명시성이 압도적으로 향상된다는 이점이 있다. 이러한 명시성의 증대는 문장의 의미인 복합적 관념 속에 포함된 다양한 추상들을 더욱 완전하게 드러내 주는 것이다.
언어와의 비교를 통해, 우리는 이제 순수 수학이 사유에서 수행하는 기능이 무엇인지 알 수 있다. 그것은 순수 수학이 예증하는 순수하게 추상적인 조건들로부터 단순한 사실의 요소들을 분리해 내기 위해 완전한 분석의 방향으로 끝까지 나아가려는 단호한 시도이다.
이러한 분석의 습관은 인간 정신의 모든 작동 행위를 일깨운다. 그것은 우선 (분석을 통해) 경험 내용에 대한 직접적인 미적 감상을 강조한다. 이 직접적인 감상이란 경험의 즉각적이고 구체적인 가치를 포함하여, 이 경험이 그 자체의 고유한 본질 속에서 무엇인지를 파악하는 것을 의미한다. 이것은 민감한 세밀함에 의존하는 직접적 경험의 문제이다. 그다음에는 관련된 개별 실체들을 그 자체로, 그리고 우리가 그것을 파악하고 있는 특정 경험의 계기와는 별개인 것으로 간주하여 추상화하는 과정이 뒤따른다. 마지막으로 그러한 경험 속에서 그 실체들의 특정 관계에 의해 만족되는 절대적으로 일반적인 조건들을 파악하게 된다. 이 조건들이 일반성을 얻는 이유는 그것들이 그 특정 경험의 계기에서 발생하는 특정한 관계나 특정한 관계항들을 참조하지 않고도 표현될 수 있다는 사실 때문이다. 그것들은 다른 실체들과 그들 사이의 다른 관계들을 포함하는 무한히 다양한 다른 계기들에서도 성립할 수 있는 조건들이다. 따라서 이 조건들은 어떤 특정한 계기도, (녹색, 청색, 나무와 같이) 다양한 계기에 포함되는 어떤 특정한 실체들도, 그리고 그러한 실체들 사이의 어떤 특정한 관계도 참조하지 않기에 완전히 일반적이다.
하지만 수학의 보편성에는 한계가 있는데, 이는 모든 일반적 진술에 똑같이 적용되는 자격 조건이다. '즉각적 계기(immediate occasion)'와 어떠한 관계도 맺지 않음으로써 그 계기 본질의 구성 요소가 되지 않는 원격적 계기에 대해서는, 단 하나의 진술을 제외하고는 그 어떤 진술도 할 수 없다. 여기서 '즉각적 계기'란 문제의 개별적 판단 행위를 성분으로 포함하는 계기를 의미한다. 예외가 되는 단 하나의 진술은 다음과 같다. '어떤 것이 관계 밖에 있다면, 그것에 대해서는 완전한 무지뿐이다.' 여기서 내가 말하는 '무지'란 그야말로 '무지'를 뜻한다. 따라서 그것을 '실제'에서든 그 밖의 어떤 방식으로든 어떻게 예상하거나 다루어야 할지에 대해서는 아무런 조언도 해줄 수 없다. 우리는 즉각적 계기의 요소 그 자체인 인지를 통해 원격적 계기에 대해 무언가를 알거나, 아니면 아무것도 알지 못한다. 따라서 모든 다양한 경험을 통해 드러나는 완전한 우주는 모든 세부 사항이 즉각적 계기와 적절한 관계를 맺으며 들어가는 우주이다. 수학의 보편성은 우리의 형이상학적 상황을 구성하는 계기들의 공동체와 양립할 수 있는 가장 완전한 보편성이다.
더 나아가 개별 실체들이 어떤 계기로 진입하기 위해서는 이러한 일반적 조건들이 필요하지만, 동일한 일반적 조건들이 여러 유형의 개별 실체들에 의해 요구될 수도 있다는 점에 주목해야 한다. 일반적 조건이 특정 개별 실체들의 집합을 초월한다는 이 사실은 수학과 수리 논리학에 '변수'라는 개념이 도입되는 근거가 된다. 이 개념을 사용함으로써 일반적 조건들은 개별 실체를 구체적으로 명시하지 않고도 탐구된다. 이러한 개별 실체들의 무관함은 일반적으로 이해되지 못했다. 예를 들어, 실제 경험에서 나타나는 원형성, 구형성, 입방성 같은 도형들의 '도형성'은 기하학적 추론에 포함되지 않는다.
논리적 이성의 행사는 언제나 이러한 절대적으로 일반적인 조건들과 관련되어 있다. 가장 넓은 의미에서, 수학의 발견이란 어떤 하나의 구체적인 계기의 실체들 사이의 관계에 동시에 적용될 수 있는 이러한 일반적 추상 조건들의 총체가, 그 자체로 열쇠가 달린 패턴의 방식으로 서로 연결되어 있다는 사실을 발견하는 것이다. 일반적 추상 조건들 사이의 이러한 관계 패턴은 모든 사물이 다른 모든 것과 구별되는 저마다의 개별적인 방식을 지닌 채 오직 자기 자신이어야만 한다는 일반적 필연성에 의해, 외부 현실과 그것에 대한 우리의 추상적 표상 모두에 동일하게 부과된다. 이것은 경험의 각 즉각적인 계기 속에서 드러나는 상호 연관된 존재라는 사실 그 자체에 내포된 전제인, 추상 논리의 필연성 이외의 것이 아니다.
그 패턴의 열쇠란 이러한 사실을 의미한다. 즉, 어떤 하나의 동일한 계기에서 예증된 그러한 일반적 조건들의 선택된 집합으로부터, 역시 동일한 계기에서 예증되는 무한히 다양한 다른 조건들을 포함하는 패턴이, 추상 논리의 순수한 행사를 통해 전개될 수 있다는 것이다. 그러한 선택된 집합은 추론이 출발하는 공리 혹은 전제의 집합이라 불린다. 추론이란 선택된 공리들로부터 도출된 패턴에 포함된 일반적 조건들의 전체 패턴을 드러내는 것 이외의 아무것도 아니다.
공리들에 내포된 완전한 패턴을 간파하는 논리적 이성의 조화는, 하나의 계기가 통일체로서 공존한다는 단순한 사실로부터 발생하는 가장 일반적인 미적 속성이다. 계기의 통일성이 있는 곳이면 어디든 그 계기에 관여하는 일반적 조건들 사이에 미적 관계가 성립한다. 이 미적 관계는 합리성을 행사함으로써 간파되는 것이다. 그 관계 안에 속하는 것은 무엇이든 그 계기에서 예증되며, 그 관계 밖에 속하는 것은 무엇이든 그 계기에서 예증되는 것에서 배제된다. 이처럼 예증되는 일반적 조건들의 완전한 패턴은 이러한 조건들의 선택된 집합들 중 어느 하나에 의해 결정된다. 이러한 핵심 집합들은 동등한 공리들의 집합이다. 복합적인 계기의 통일성을 위해 요구되는 존재의 이러한 합리적 조화는, (그 계기 안에서) 논리적 조화에 포함된 모든 것이 실현되는 완전성과 더불어 형이상학적 교리의 제일 조항이다. 이는 사물들이 함께한다는 것은 그것들이 합리적으로 함께함을 의미한다. 이는 사유가 사실의 모든 계기 속으로 침투할 수 있어서, 그 핵심 조건들을 파악함으로써 그 조건 패턴의 복잡한 전체가 사유 앞에 열려 있음을 뜻한다. 결국 요점은 이것이다. 우리가 어떤 계기의 요소들에 관해 완벽하게 일반적인 무언가를 알기만 한다면, 우리는 같은 계기에서 반드시 예증되어야 할 다른 수많은 일반적 개념들도 알 수 있게 된다는 것이다. 계기의 통일성에 내포된 논리적 조화는 배타적이면서도 포괄적이다. 계기는 부조화한 것을 배제해야 하며, 조화로운 것을 포함해야 한다.
피타고라스는 이 일반 원리의 전반적인 흐름을 파악한 최초의 인물이었다. 그는 기원전 6세기에 살았다. 그에 대해 우리가 아는 지식은 파편적이다. 하지만 우리는 사상사에서 그의 위대함을 입증하는 몇 가지 사실을 알고 있다. 그는 추론에 있어 최대한의 일반성을 확보하는 것의 중요성을 역설했고, 자연 질서에 포함된 조건들을 표상으로 구성하는 데 도움이 되는 수(數)의 중요성을 간파했다. 우리는 또한 그가 기하학을 연구했으며 직각삼각형에 관한 놀라운 정리를 일반적인 방식으로 증명해 냈음을 알고 있다. 피타고라스 학파의 형성과 그 의례 및 영향력에 관한 신비로운 소문들은, 피타고라스가 과학 형성 과정에서 수학이 가질 수 있는 중요성을 비록 희미하게나마 예견했음을 보여주는 증거가 된다. 철학적 측면에서 그는 그 이후로도 줄곧 사상가들을 들끓게 한 논의를 시작했다. 그는 '수와 같은 수학적 실체는 사물의 영역에서 어떤 위상을 차지하는가?'라고 물었다. 예를 들어 '2'라는 수는 어떤 의미에서 시간의 흐름이나 공간적 위치의 필연성으로부터 자유롭다. 그러나 그것은 현실 세계와 연관되어 있다. 원형과 같은 기하학적 관념에도 동일한 고찰이 적용된다. 피타고라스는 수나 도형 같은 수학적 실체가 우리가 지각하는 경험의 실체들을 구성하는 궁극적인 재료라고 가르쳤다고 전해진다. 이렇게 대담하게 진술된 관념은 조잡하고 어리석게 보일 수 있다. 그러나 그가 매우 중요한 철학적 관념에 도달했음은 의심할 여지가 없다. 이는 긴 역사를 지니며 인간의 정신을 움직여 왔고, 심지어는 기독교 신학에까지 들어온 관념이다. 아타나시우스 신경은 피타고라스로부터 약 1,000년 뒤에 나왔고, 헤겔은 피타고라스로부터 약 2,400년 뒤에 나왔다. 그러나 이 모든 시간적 거리에도 불구하고, 신적 본질을 구성함에 있어 정해진 수(數)가 갖는 중요성과 현실 세계를 관념의 진화가 드러나는 것으로 보는 개념은 모두 피타고라스가 시작한 사유의 흐름으로 거슬러 올라갈 수 있다.
개별 사상가의 중요성은 어느 정도 우연에 기여하는 바가 있다. 왜냐하면 그것은 후계자들의 마음속에서 그 사상가의 관념이 어떤 운명을 맞이하느냐에 달려 있기 때문이다. 이런 점에서 피타고라스는 운이 좋았다. 그의 철학적 사유는 플라톤의 정신을 거쳐 우리에게 전달된다. 플라톤의 이데아 세계는 수(數)가 현실 세계의 토대에 있다는 피타고라스 학파의 교리를 세련되고 수정된 형태로 바꾼 것이다. 수를 점의 패턴으로 표현하는 그리스 방식 때문에, 수와 기하학적 형상의 개념은 우리보다 덜 분리되어 있었다. 또한 피타고라스는 의심할 여지 없이 불순한 수학적 실체인 '도형의 도형성'을 포함시켰다. 그러므로 오늘날 아인슈타인과 그의 추종자들이 중력과 같은 물리적 사실들이 시공간적 속성의 국소적 특이성을 드러낸 것으로 해석되어야 한다고 선언할 때, 그들은 순수한 피타고라스 전통을 따르고 있는 것이다. 어떤 의미에서 플라톤과 피타고라스는 아리스토텔레스보다 현대 물리학에 더 가까이 서 있다. 앞의 두 사람은 수학자였던 반면, 아리스토텔레스는 의사의 아들이었다. 물론 그렇다고 해서 그가 수학을 몰랐던 것은 아니지만 말이다. 피타고라스로부터 얻을 수 있는 실천적 조언은 측정하고, 그렇게 함으로써 질(質)을 수치적으로 결정된 양(量)의 용어로 표현하라는 것이다. 그러나 생물학은 그때부터 우리 시대에 이르기까지 압도적으로 분류학적이었다. 따라서 아리스토텔레스는 자신의 논리학을 통해 분류에 강조점을 둔다. 아리스토텔레스 논리학의 인기는 중세 내내 물리학의 발전을 지체시켰다. 만약 스콜라 학자들이 분류하는 대신 측정했더라면, 그들이 얼마나 많은 것을 배울 수 있었을까!
분류는 개별 사물의 즉각적인 구체성과 수학적 관념의 완전한 추상 사이의 중간 지점에 있다. 종(種)은 종적 특성을 고려하고, 속(屬)은 속적 특성을 고려한다. 그러나 수를 세고, 측정하고, 기하학적 관계와 질서의 유형을 통해 수학적 관념을 자연의 사실과 연관시키는 과정에서, 이성적 고찰은 명확한 종과 속에 포함된 불완전한 추상으로부터 수학의 완전한 추상으로 고양된다. 분류는 필요하다. 그러나 분류에서 수학으로 나아가지 못한다면, 당신의 추론은 그리 멀리 가지 못할 것이다.
피타고라스에서 플라톤에 이르는 시대와 근대 세계의 17세기를 포함하는 시대 사이에는 거의 2,000년이라는 세월이 흘렀다. 이 긴 간격 동안 수학은 엄청난 발전을 이루었다. 기하학은 원뿔 곡선과 삼각법에 대한 연구를 얻었고, 소진법(method of exhaustion)은 거의 적분법을 예견했으며, 무엇보다 아라비아식 수 표기법과 대수학이 아시아적 사유에 의해 기여되었다. 그러나 그 진보는 기술적인 측면에 국한된 것이었다. 철학 발전에 있어 형성적 요소로서의 수학은 이 긴 기간 동안 아리스토텔레스의 손에 의해 물러난 위상을 결코 회복하지 못했다. 피타고라스-플라톤 시대에서 파생된 오래된 관념들 중 일부는 여전히 남아 있었고, 기독교 신학의 초기 발전기를 형성했던 플라톤적 영향들 사이에서 그 흔적을 찾을 수 있다. 그러나 철학은 수학 과학의 꾸준한 진보로부터 새로운 영감을 받지 못했다. 17세기에 아리스토텔레스의 영향력은 가장 낮았고, 수학은 초기 시대의 중요성을 회복했다. 그 시대는 위대한 물리학자들과 위대한 철학자들의 시대였으며, 그 물리학자들과 철학자들은 모두 수학자였다. 존 로크라는 예외를 두어야 하지만, 그 역시 왕립학회 내 뉴턴주의자들의 집단으로부터 큰 영향을 받았다. 갈릴레오, 데카르트, 스피노자, 뉴턴, 라이프니츠의 시대에 수학은 철학적 관념을 형성하는 데 있어 첫 번째 규모의 영향력을 행사했다. 그러나 이제 전면에 등장한 수학은 이전 시대의 수학과는 매우 다른 과학이었다. 그것은 일반성을 획득했으며, 일반화의 미묘함 위에 일반화의 미묘함을 쌓아 올리고 복잡성이 증가할 때마다 물리 과학이나 철학적 사유에 대한 새로운 응용을 찾아내는, 믿기 어려울 정도로 놀라운 근대적 궤도를 달리기 시작했다. 아라비아식 표기법은 이 과학에 수 조작에 있어서 거의 완벽한 기술적 효율성을 갖추어 주었다. (예를 들어 기원전 1600년의 이집트 산술에서 볼 수 있듯이) 산술적 세부 사항과의 씨름으로부터의 이러한 해방은 후기 그리스 수학에서 이미 희미하게 예견되었던 발전을 위한 공간을 마련해 주었다. 이제 대수학이 무대에 등장했는데, 대수학은 산술의 일반화이다. 수라는 관념이 어떤 특정 실체 집단에 대한 참조로부터 추상화된 것과 같은 방식으로, 대수학에서는 임의의 특정 수라는 관념으로부터의 추상화가 이루어진다.'5'라는 수가 5개의 실체로 이루어진 어떠한 집단에 대해서든 공평하게 적용되는 것과 마찬가지로, 대수학에서는 문자들을 임의의 수에 대해 공평하게 지칭하는 데 사용하며, 단 각 문자는 동일한 맥락 내에서 사용되는 동안에는 항상 같은 수를 가리켜야 한다는 조건이 따른다.
이러한 용법은 복잡한 산술적 질문을 하는 방식인 방정식에서 처음 사용되었다. 이와 관련하여 수를 나타내는 문자들은 '미지수'라 불렸다. 그러나 방정식은 곧 새로운 아이디어를 제시했는데, 그것은 바로 하나 이상의 일반 기호에 대한 함수라는 아이디어였으며, 이 기호들은 임의의 수를 나타내는 문자였다. 이러한 사용법에서 대수적 문자들은 함수의 '인수'라 불리거나 때로는 '변수'라고 불린다. 예를 들어, 각이 주어진 단위로 측정된 수치를 나타내는 대수적 문자로 표현되면 삼각법은 이 새로운 대수학으로 흡수된다. 따라서 대수학은 결정되지 않은 인수의 다양한 함수들의 성질을 고찰하는 일반적인 분석학으로 발전한다. 마침내 삼각 함수, 로그 함수, 대수 함수와 같은 특정한 함수들은 '임의의 함수'라는 개념으로 일반화된다. 너무 큰 일반화는 단순한 불모로 이어진다. 유익한 개념은 행복한 특수성에 의해 제한되는 거대한 일반화이다. 예를 들어, 연속성의 제한이 도입되는 '연속' 함수의 아이디어는 대부분의 중요한 응용을 이끌어낸 유익한 아이디어이다. 이러한 대수적 분석의 부상은 데카르트의 해석기하학 발견, 그리고 뒤이어 뉴턴과 라이프니츠에 의한 미적분학의 발명과 동시에 이루어졌다. 진정으로 피타고라스는 자신이 시작한 사유의 흐름이 가져올 결과를 미리 내다볼 수 있었다면, 신비로운 의례의 흥분을 동반한 자신의 학단이 충분히 정당했음을 느꼈을 것이다.
내가 이제 말하고자 하는 요점은 수학이라는 추상적 영역에서 함수성이라는 개념의 지배력이 자연 질서 속에서 수학적으로 표현된 자연 법칙의 모습으로 반영되었다는 것이다. 이러한 수학의 진보가 없었다면 17세기의 과학 발전은 불가능했을 것이다. 수학은 과학자들이 자연 관찰에 접근할 때 필요한 상상적 사유의 배경을 제공했다. 갈릴레오는 공식을 만들어냈고, 데카르트도 공식을 만들어냈으며, 하위헌스도 공식을 만들어냈고, 뉴턴도 공식을 만들어냈다.
수학의 추상적 발전이 당대 과학에 미친 영향에 대한 구체적인 예로, 주기성이라는 개념을 생각해보자. 사물의 일반적인 되풀이는 우리 일상 경험에서 매우 명백하다. 날이 되풀이되고, 달의 위상이 되풀이되며, 계절이 되풀이되고, 회전하는 물체는 이전 위치로 되돌아오며, 심장 박동이 되풀이되고, 호흡이 되풀이된다. 어디를 보나 우리는 되풀이와 마주한다. 되풀이가 없다면 지식은 불가능할 것이다. 과거의 경험을 참조할 수 있는 것이 아무것도 없을 것이기 때문이다. 또한, 되풀이의 규칙성이 없다면 측정 또한 불가능할 것이다. 우리의 경험에서 정확성이라는 관념을 얻게 됨에 따라, 되풀이는 근본적인 것이 된다.
16세기와 17세기에 주기성 이론은 과학에서 근본적인 위치를 차지하게 되었다. 케플러는 행성 궤도의 장축과 행성이 각자의 궤도를 도는 주기를 연결하는 법칙을 간파했다. 갈릴레오는 진자의 주기적 진동을 관찰했다. 뉴턴은 소리를 응축과 희박의 주기적 파동이 공기를 통과하면서 일으키는 교란으로 설명했다. 하위헌스는 빛을 미세한 에테르의 횡진동 파동으로 설명했다. 메르센은 바이올린 줄의 진동 주기와 그 밀도, 장력, 길이를 연관시켰다. 현대 물리학의 탄생은 주기성이라는 추상적 아이디어를 다양한 구체적 사례에 적용하는 것에 달려 있었다. 그러나 수학자들이 주기성 개념 주변에 맴도는 다양한 추상적 아이디어들을 미리 추상적으로 정립해두지 않았더라면 이는 불가능했을 것이다. 삼각함수의 과학은 직각삼각형의 각과 그 삼각형의 변 및 빗변 사이의 비율 관계에 대한 연구에서 비롯되었다. 그 후, 새로 발견된 수학 과학인 함수 해석학의 영향 아래, 그것은 이 비율들이 예증하는 단순하고 추상적인 주기 함수에 대한 연구로 확장되었다. 이처럼 삼각법은 완전히 추상적이 되었고, 그렇게 추상적이 됨으로써 유용해졌다. 그것은 완전히 다른 물리적 현상들의 집합들 사이에 놓인 근본적인 유비 관계를 밝혀냈으며, 동시에 그러한 집합들 중 어느 하나라도 그 다양한 특징들을 분석하고 서로 연관 지을 수 있는 무기를 제공했다.
수학이 점점 더 극단적인 추상적 사고의 고층 영역으로 물러날수록, 구체적 사실을 분석하는 데 있어 그 중요성이 그에 상응하여 커지면서 다시 지상으로 돌아왔다는 사실만큼 인상적인 것은 없다. 17세기 과학의 역사는 마치 플라톤이나 피타고라스의 생생한 꿈처럼 읽힌다. 이러한 특성에서 17세기는 단지 그 후계자들의 선구자였을 뿐이다.
최고도의 추상이야말로 구체적 사실에 대한 우리의 사고를 통제하는 진정한 무기라는 역설은 이제 완전히 확립되었다. 17세기에 수학자들이 두각을 나타낸 결과로 18세기는 수학적인 사고방식을 갖게 되었는데, 특히 프랑스의 영향력이 지배적인 곳에서 더욱 그러했다. 로크로부터 파생된 영국 경험주의는 예외로 해야 한다. 프랑스 밖에서 뉴턴이 철학에 미친 직접적인 영향은 흄이 아닌 칸트에게서 가장 잘 나타난다.
19세기에 수학의 일반적인 영향력은 감소했다. 문학에서의 낭만주의 운동과 철학에서의 관념론 운동은 수학적 정신의 산물이 아니었다. 또한 과학에서조차 지질학, 동물학, 그리고 생물학 전반의 성장은 각각 수학적 참조와 완전히 단절되어 있었다. 그 세기의 주요한 과학적 흥분은 다윈의 진화론이었다. 따라서 당시의 일반적인 사상과 관련하여 수학자들은 뒷전으로 밀려나 있었다. 그러나 이것이 수학이 소홀히 취급되었거나 영향력이 없었다는 의미는 아니다. 19세기 동안 순수 수학은 피타고라스 시대 이후 지난 모든 세기 동안 이루어진 것과 거의 맞먹는 진보를 이루었다. 물론 기술이 완성되었기 때문에 진보는 더 쉬웠다. 하지만 그것을 감안하더라도 1800년에서 1900년 사이의 수학적 변화는 매우 주목할 만하다. 이전 100년을 더하여 현재에 이르기까지 지난 2세기를 고려하면, 수학의 기초가 17세기 마지막 4분기 어딘가에 놓였다고 볼 수도 있을 정도이다. 요소 발견의 시대는 피타고라스에서 데카르트, 뉴턴, 라이프니츠까지 이어지며, 발전된 과학은 지난 250년 동안 창조되었다. 이것은 근대 세계의 우월한 천재성에 대한 자랑이 아니다. 왜냐하면 과학을 발전시키는 것보다 요소를 발견하는 것이 더 어렵기 때문이다.
19세기 내내 수학의 영향력은 동역학 및 물리학에 미친 영향이었으며, 파생적으로는 공학 및 화학에 미친 영향이었다. 이러한 과학이라는 매개체를 통해 인간의 삶에 미친 수학의 간접적인 영향력은 아무리 과대평가해도 지나치지 않다. 그러나 당시의 일반적인 사상에 수학이 직접적인 영향을 미친 바는 없었다.
유럽 역사 전반에 걸친 수학의 영향에 대한 이 빠른 개관을 검토해보면, 우리는 수학이 일반적인 사상에 직접적으로 영향을 미친 두 번의 거대한 시기가 있었으며, 두 시기 모두 약 200년 동안 지속되었음을 알 수 있다. 첫 번째 시기는 피타고라스에서 플라톤에 이르는 시기로, 이때 그리스 사상가들에게 수학이라는 과학의 가능성과 그 일반적 성격이 처음으로 밝혀졌다. 두 번째 시기는 우리 근대 시대의 17세기와 18세기를 포함한다. 두 시기 모두 몇 가지 공통적인 특징을 지니고 있었다. 앞선 시기와 마찬가지로 나중 시기에도 인간의 관심사가 얽힌 많은 영역에서 사상의 일반적 범주들은 해체 상태에 있었다. 피타고라스 시대에 아름다운 의례와 마법적 의식이라는 전통적 옷을 입은 무의식적 이교주의는 두 가지 영향 아래 새로운 단계로 접어들고 있었다. 존재의 비밀스러운 심연에 대한 직접적인 깨달음을 추구하는 종교적 열정의 물결이 있었고, 정반대 극단에는 냉철한 무관심으로 궁극적 의미를 탐구하는 비판적 분석적 사유의 각성이 있었다. 결과적으로는 매우 상이한 이 두 영향 속에는 '깨어난 호기심'과 '전통적 방식의 재건을 향한 움직임'이라는 하나의 공통 요소가 존재했다. 이교도들의 신비는 청교도적 반작용 및 가톨릭적 반작용과 비교될 수 있다. 비판적인 과학적 관심은 비록 실질적으로 중요한 세부적 차이는 있었지만 두 시대 모두에서 동일했다.
각 시대의 초기 단계는 번영이 상승하고 새로운 기회가 열리던 시기에 놓여 있었다. 이런 점에서 이 시기들은 기독교가 로마 세계를 정복하기 위해 나아가던 2세기와 3세기의 점진적 쇠퇴기와는 달랐다. 당대의 진지한 사유가 시작되는 더 구체적인 개념들 속에 숨겨진 궁극적 추상들을 시대정신이 직접 수정하는 작업은, 즉각적인 상황의 압박으로부터 벗어날 기회와 열렬한 호기심이라는 두 가지 축복을 모두 누리는 시기에만 가능하다. 이 과업을 수행할 수 있는 드문 시기에, 수학은 철학과 관련을 맺게 된다. 왜냐하면 수학은 인간 정신이 도달할 수 있는 가장 완전한 추상의 과학이기 때문이다.
두 시대 사이의 평행 관계를 지나치게 강조해서는 안 된다. 현대 세계는 지중해 연안의 고대 문명보다, 혹은 심지어 콜럼버스와 청교도들을 바다 건너로 보냈던 유럽의 문명보다 훨씬 더 크고 복잡하다. 우리는 이제 어떤 단순한 공식이 지배적이 되었다가 다시 천 년 동안 잠들게 되는 방식으로 우리 시대를 설명할 수 없다. 따라서 루소 시대 이후 수학적 사고방식이 일시적으로 침잠했던 현상은 이미 끝난 것으로 보인다. 우리는 종교와 과학, 그리고 정치 사상에 있어 재건의 시대로 접어들고 있다. 이러한 시대가 극단 사이를 무지하게 오가는 일을 피하려면, 궁극적인 깊이에서 진리를 찾아야 한다. 수학이 탐구하는 대상인 그 궁극적 추상들의 상호 연관성을 충분히 고려하는 철학 없이는, 이러한 깊이의 진리를 관조할 수 없다.
오늘날 수학이 어떻게 일반적인 중요성을 얻어가고 있는지 정확히 설명하기 위해, 특정한 과학적 난제에서 시작하여 그 어려움을 해결하려는 시도 속에서 우리가 자연스럽게 도달하게 되는 관념들을 고찰해보자. 현재 물리학은 양자 이론으로 인해 골머리를 앓고 있다. 이미 이 이론에 익숙하지 않은 사람들에게 그것이 무엇인지 지금 설명할 필요는 없을 것이다. 그러나 요점은 가장 희망적인 설명 방식 중 하나는 전자가 공간 속의 경로를 연속적으로 이동하지 않는다고 가정하는 것이라는 점이다. 전자의 존재 방식에 관한 대안적 관념은, 전자가 공간 내의 일련의 불연속적인 위치들에 나타나며 각 위치에서 연속적인 시간 동안 머무른다는 것이다. 이는 마치 시속 30마일의 평균 속도로 도로를 달리는 자동차가 도로를 연속적으로 주행하는 것이 아니라, 각 이정표에 2분씩 머무르며 연속적인 이정표들에 차례로 나타나는 것과 같다.
우선, 이러한 개념이 실제로 양자 이론의 많은 난해한 특징들을 설명하는지 확인하기 위해 수학의 순수 기술적인 사용이 요구된다. 만약 이 관념이 이러한 시험을 통과한다면, 물리학은 의심할 여지 없이 그것을 채택할 것이다. 지금까지 이 문제는 수학적 계산과 물리적 관찰을 바탕으로 수학과 물리학이 그들 사이에서 해결해야 할 순수한 문제이다.
하지만 이제 하나의 문제가 철학자들에게 넘어왔다. 전자에 부여된 이러한 공간상의 불연속적 존재는 우리가 습관적으로 당연하게 가정하는 물질적 실체의 연속적 존재와는 매우 다르다. 전자는 어떤 사람들이 티베트의 마하트마들에게 부여했던 성격을 빌려오는 듯하다. 이러한 전자들은 상관물인 양성자와 함께 이제 일상적인 경험 속의 물질적 신체를 구성하는 근본적인 실체로 간주된다. 따라서 이 설명이 인정된다면 우리는 물질적 존재의 궁극적 성격에 대한 모든 관념을 수정해야 한다. 왜냐하면 우리가 이러한 최종적 실체에 다가갈 때 공간적 존재의 놀라운 불연속성이 그 모습을 드러내기 때문이다.
우리가 겉보기에 안정적이고 차별화되지 않은 물질의 지속에 대해 현재 소리와 빛에 대해 받아들여지는 것과 동일한 원리를 적용하기만 한다면, 이 역설을 설명하는 데 어려움은 없다. 일정하게 울리는 음은 공기 중의 진동의 결과로 설명되고, 일정한 색은 에테르 속 진동의 결과로 설명된다. 우리가 물질의 안정적인 지속을 동일한 원리로 설명한다면, 우리는 각각의 근원적 요소를 기저에 있는 에너지나 활동의 진동하는 썰물과 밀물로 이해하게 될 것이다. 에너지에 대한 물리적 관념을 고수한다고 가정해보자. 그러면 각 근원적 요소는 에너지의 진동하는 흐름으로 이루어진 조직적 체계가 될 것이다. 따라서 각 요소와 연관된 명확한 주기가 존재할 것이며, 그 주기 내에서 흐름 체계는 하나의 정지된 최댓값에서 다른 정지된 최댓값으로 흔들릴 것이다. 혹은 바다의 조수를 은유로 빌리자면, 이 체계는 한 번의 만조에서 다른 만조로 흔들리는 셈이다. 근원적 요소를 형성하는 이 체계는 어느 한순간에는 아무것도 아니다. 그것이 자신을 드러내기 위해서는 전체 주기가 필요하다. 이와 비슷하게, 음악의 한 음도 찰나에는 아무것도 아니지만, 자신을 드러내기 위해서는 전체 주기를 필요로 한다.
따라서 근원적 요소가 어디에 있는지 물을 때, 우리는 각 주기의 중심에 있는 그 평균 위치를 정해야 한다. 시간을 더 작은 요소로 나눈다면, 하나의 전자적 실체로서의 진동 체계는 존재하지 않는다. (실체가 진동에 의해 '구성되는' 경우) 그러한 진동 실체의 공간적 경로는 연속적인 이정표들에서는 발견되지만 그 사이의 어디에서도 발견되지 않는 자동차와 유사하게, 공간상의 일련의 분리된 위치들로 나타내야만 한다.
우리는 먼저 양자 이론을 진동과 연관 지을 만한 근거가 있는지 물어야 한다. 이 질문에 대한 답은 즉각적으로 긍정적이다. 이론 전체가 원자에서 나오는 복사 에너지를 중심으로 하며, 복사 파동계의 주기와 밀접하게 연관되어 있다. 따라서 본질적으로 진동하는 존재라는 가설이 불연속적인 궤도라는 역설을 설명하는 가장 희망적인 방식인 것으로 보인다.
둘째로, 우리가 물질의 궁극적 요소가 그 본질에 있어 진동한다는 가설을 수용한다면, 철학자와 물리학자들 앞에는 이제 새로운 문제가 놓이게 된다. 내가 여기서 의미하는 바는 주기적인 체계라는 점을 제외하면 그러한 요소는 존재하지 않는다는 것이다. 이 가설과 함께 우리는 진동하는 유기체를 형성하는 성분이 무엇인지 물어야 한다. 우리는 이미 차별화되지 않은 지속이라는 외양을 지닌 물질을 제거했다. 어떤 형이상학적 강제가 아니라면, 방금 설명해버린 물질을 대신할 더 미묘한 다른 물질을 제시할 이유는 없다. 이제 17세기 이래 과학이 철학에 짐 지워온 물질주의를 대신할 새로운 유기체설을 도입할 장이 열렸다. 물리학자의 에너지가 명백히 하나의 추상이라는 점을 기억해야 한다. 유기체인 구체적 사실은 실제 사건의 성격을 온전히 표현하는 것이어야 한다. 만약 이러한 과학적 물질주의의 대체가 일어난다면, 그것은 모든 사고 영역에서 중요한 결과를 가져올 수밖에 없을 것이다.
마지막으로, 우리의 최종적인 고찰은 우리가 결국 수학과 수리물리학이 시작된 고대 피타고라스 학설의 한 형태로 되돌아왔다는 것이어야 한다. 그는 추상을 다루는 것의 중요성을 발견했으며, 특히 음악 음의 주기성을 규정하는 것으로서의 수에 주목했다. 이처럼 주기성이라는 추상적 관념의 중요성은 수학과 유럽 철학 양쪽의 바로 그 시작 단계부터 존재하고 있었다.
17세기에 근대 과학의 탄생은 진동하는 존재의 특성을 분석할 목적으로 더 완벽하게 갖춰진 새로운 수학을 필요로 했다. 그리고 이제 20세기에 우리는 물리학자들이 원자의 주기성을 분석하는 데 대부분 매진하고 있음을 본다. 실로 피타고라스는 유럽 철학과 유럽 수학의 기초를 닦으면서 그것들에 가장 운 좋은 추측이라는 선물을 안겨주었으니, 아니면 그것은 사물의 가장 깊은 본질을 꿰뚫어 본 신성한 천재성의 번뜩임이었을까?